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摘要
可靠的功率能力估算对于电池管理系统（BMS）至关重要，然而老化会逐渐改变锂离子电池的可允许充放电限制。本文提出了一种老化感知框架，该框架结合了基于一阶单RC等效电路模型的实验辨识、集总热模型以及自动化的虚拟电流阶跃测试。该流程确定了电压和温度约束下的最大允许电流，并生成了作为荷电状态、温度、寿命状态和脉冲持续时间函数的充放电功率限制图。该方法应用于四种在不同循环条件下老化的圆柱形NMC 18650电池，并通过单独的电池在选定的工作点进行了验证，电流误差中位数为2.8%。从100%到70%的寿命状态，30秒脉冲的区域平均功率状态降幅在放电时约为30%，充电时约为50%，70%水平是基于三个电池单元外推得出的。在相同的老化水平（90%和80%）下，与老化轨迹相关的差异在中等荷电状态区域较小，而在运行边界附近较大。该框架旨在用于BMS功率限制表的离线生成和更新，从而减少每个老化阶段所需的实验工作量。
功率状态; 寿命状态; 老化相关的ECM; 虚拟电池测试; 锂电池等效电路模型
1. 引言
锂离子电池老化是汽车、固定式和工业应用中系统容量设计、运行管理和寿命终点决策的关键问题，这些应用中的安全性和性能高度依赖于运行条件，因此需要有效的监测和控制策略[1]。在这种背景下，电池管理系统（BMS）发挥着核心作用，在先进的实现中，它们依赖电热动态模型来实时估计荷电状态、内部温度以及允许的充放电电流和功率限制[2]。尽管电池动态建模已趋于成熟，但将老化因素系统性地纳入长期运行模型的研究仍十分有限。这主要是因为锂离子电池的老化取决于多种相互作用的因素，包括化学特性、电流、温度和使用模式[3,4]，且其定量表征需要耗时较长且针对特定技术的实验研究。因此，现有文献大多仍侧重于老化预测或状态估计，而非老化对动态运行限制的直接影响[1,5从运行角度来看，老化会影响可用容量和充放电功率能力[3]。前者通过寿命状态（SoL）来描述，作为受控循环条件下的基于容量的老化指标；SoL受电流水平、温度、SoC窗口和放电深度影响[3,6]。后者通过功率状态（SoP）来描述，即电池在遵守电气和热约束（主要与内部电阻演变相关）的同时，提供或吸收功率的能力。这两个指标不应被视为可互换的，因为SoL和SoP并不一定同步演变，而且仅从容量角度来看，功率能力可能在达到寿命终点之前就成为限制因素[7]。最近的研究提出了电池包和电芯层面的电-热-老化耦合模型[8,9,10]，以及专注于产热和热特性的电热建模[11]。老化效应在系统级应用中也得到了研究，例如车辆到电网服务[12]、真实的电池包分析[13]以及考虑老化的充电优化[14]。然而，尽管取得了这些进展，但仍未系统地解决直接使用考虑老化因素的电热模型来更新BMS控制和保护的运行电流与功率限制的问题。现有研究主要集中在老化预测、参数演化、热行为或系统级性能方面，而将与老化相关的模型参数结构化地转化为基于SoC、温度和脉冲持续时间的SoP映射仍十分有限。
为填补这一空白，本研究基于[中引入的BMS测试概念，开发并验证了一个离线虚拟测试框架15目标是将实验确定的随老化变化的等效电路模型（ECM）参数转换为适用于更新BMS查找表的充放电电流和功率限制图。具体而言，该框架：（i）在选定的SoL水平下更新一阶电热ECM；（ii）在电压和温度约束下，确定不同脉冲持续时间在SoC-温度域内的最大允许恒定电流；（iii）量化老化水平和循环历史对最终SoP图的影响。因此，其创新之处不在于单独考虑的ECM结构或参数识别方法，而在于将它们系统地整合到一个经过验证的SoL依赖型工作流程中，以减少实验工作量，生成面向BMS的运行限制。该方法应用于工业电动叉车背景下，在不同条件下老化的四节NMC 18650电池。
本文结构如下。第2节介绍了所采用的方法论，包括所考虑的老化指标的定义，以及用于更新带有老化因素的电热模型所采用的实验和建模方法。第3节描述了实验室装置。第四节展示了动态模型的验证结果，并通过SoL和SoP指标的演变分析了老化对功率性能的影响，从而推导出最大电流和功率随工作点变化的映射图。最后，结论部分讨论了所提方法的潜力。2. 方法论
2.1. 老化性能指标
2.1.1. 寿命状态 (SoL)
可用容量的退化通常通过健康状态（SoH）指标来量化。虽然SoH一词在文献中常被用作电池健康状况的通用描述符，可能涵盖多种退化机制和运行应力因素，但在本研究中，采用SoL一词来明确指代基于受控实验循环条件得出的容量老化状态。SoL的定义见公式(1)，其中是寿命开始时测得的最大可提取容量（即在预设运行条件下可提取的总电量），并且是第个老化循环时测得的最大可提取容量。[Math Processing Error]Qm0[Math Processing Error]Qmi[Math Processing Error]i
[Math Processing Error]SoLi=QmiQm0·100 %
容量Qm定义为从完全充电状态开始，通过在定义的电流曲线下将电池从上限截止电压放电至下限截止电压所获得的可提取最大容量。该容量既用于评估容量衰减，也用于定义电池荷电状态（SoC），为评估寿命状态提供了一致的基础。2.1.2. 功率状态 (SoP)
关于电池功率能力及其与老化相关的退化定义在文献中并不统一。一些研究将可用功率状态定义为在给定时间范围内，在不违反电压、电流、荷电状态或热约束的情况下，能够输出或吸收的最大功率[16,17]。在这些框架中，SoP通常被视为一个绝对量，通过等效模型或基于脉冲的测试获得，用于实时电池管理系统应用。其他方法将功率退化与老化引起内阻增加联系起来[18]，或者将SoP表示为可用峰值功率与额定功率的比值，从而提供一个归一化但与工作点无关的指标[19]。此外，当SoP源自电流或功率阶跃响应时，必须指定激励持续时间，因为它直接影响可接受的功率。在汽车和工业标准中，功率能力和内阻通常通过预定义持续时间的阶跃电流测试来评估；对于牵引电池，IEC和ISO标准通常参考10秒窗口，有时会补充额外的持续时间以确保可重复性和可比性[20,21]。在并网应用中，相关的时间范围通常更长，具体取决于所需的服务[22因此，在本研究中，SoP在1秒、5秒、10秒和30秒的时间尺度上进行评估，以捕捉短期和持续的功率能力。此处将其定义为在给定运行条件下，由老化引起的最高允许功率下降的归一化指标，其中放电条件和充电条件分别由公式(2)和公式(3)给出：
[数学处理错误]SoPjdisSoC,T=Pmax,jdisSoC,TPmax,0disSoC,T·100 %
[数学处理错误]SoPjchgSoC,T=Pmax,jchgSoC,TPmax,0chgSoC,T·100 %
其中和表示在第个寿命状态值（例如）下的最大允许充放电功率，该值在给定的荷电状态和电池温度下进行评估，同时和代表了在相同工作条件下，电池在寿命初期的相应极限。[Math Processing Error]Pmax,jdisSoC,T[Math Processing Error]Pmax,jchgSoC,T[Math Processing Error]j[Math Processing Error]SoL=90%[Math Processing Error]SoC[Math Processing Error]T[Math Processing Error]Pmax,0disSoC,T[Math Processing Error]Pmax,0chgSoC,T
为求完整，本研究采用的荷电状态公式如式(4)所示。在时间[数学处理错误]t的荷电状态是从初始值[数学处理错误]SoCtk开始计算的，该初始值位于通用参考时刻[数学处理错误]tk，通过对电池电流[数学处理错误]it进行积分得出，充电期间电流被假定为正值。最终得到的电荷平衡值按最大可提取容量进行归一化处理[数学处理错误]Qmi，该内容会根据在...处识别出的老化状态进行更新[数学处理错误]i个老化循环时测得的最大可提取容量。
[数学处理错误]SoCt=SoCtk+∫tktit dtQmi·100 %
值得注意的是，所采用的SoC公式同时适用于充电和放电条件。这隐含地假设了参考容量[数学处理错误]Qmi（定义为端子处可提取的电荷）在充电和放电时可以被视为等效。由于锂离子电池具有极高的库仑效率，这一假设是合理的[23].2.2. 随老化变化的电池电热动态模型
识别随老化变化的充放电功率能力图谱，需要一个能够在任意电流曲线下重现电压和温度的电池模型。对于SoP映射和虚拟测试，等效电路模型（ECM）是一种成熟的解决方案，它兼具良好的精度和有限的参数化工作量[24,25,26]。在这些模型中，电参数通常被识别为荷电状态（SoC）和温度的函数，而这两者是主要的状态变量。尽管老化对ECM参数（尤其是内阻）的影响已被广泛认可，但它们通常仅通过偶尔的参数重新识别来考虑，而非通过系统的随老化变化的映射图谱。以往的研究表明，老化会改变ECM的电参数，但通常会保留它们对SoC和温度的函数依赖关系[27,28基于此，本文采用的方法将老化显式地作为参数映射中的一个额外独立维度引入。保留了ECM原有的SoC-温度依赖性，同时在选定的SoL水平上更新参数曲面，从而在[Math Processing Error]SoC,T,SoL领域中生成结构化的三维表示。
本研究采用的电学模型是一个带有一个RC支路的阶一等效电路模型，其示意图如图所示图1a. 采用的公式遵循最初在[29]中为铅酸电池引入的等效电路表示法，后来被包括锂基电池在内的众多电化学电池家族认可为适用。该电池由一个开路电压源[数学处理错误]VOC、一个串联电阻[数学处理错误]R0以及一个并联[数学处理错误]R1−C1支路表示。串联电阻解释了与电流阶跃相关的瞬时端电压变化。事实上，由于跨接在[数学处理错误]C1无法瞬时改变，其瞬时电压响应由[数学处理错误]R0，带有[数学处理错误]ΔVinst=R0ΔI根据所采用的当前惯例。该[数学处理错误]R1−C1分支描述了随后的瞬态和松弛响应。
图1.采用的等效电路模型：电学（）和热学（) and Thermal (b).
公式(5)-(8)总结了所采用的电气-ECM的数学公式。
[数学处理错误]R0SoC,T,SoL=ΔVR0ΔI
[数学处理错误]Vt=VOCSoC,T,SoL−R0SoC, T,SoL it−v1t
[数学处理错误]v1˙t=−1τ1v1t+1C1SoC,T,SoLit
[数学处理错误]τ1=R1SoC,T,SoL C1SoC,T,SoL
在公式(5)中，[数学处理错误]ΔVR0表示与电流变化相关的欧姆电阻上的瞬时电压降[数学处理错误]ΔI. [数学处理错误]Vt是电池端电压，而[数学处理错误]it施加的电流和[数学处理错误]v1t瞬态支路两端的电压，其时间常数为[数学处理错误]τ1.
电池的热行为由集中参数热模型描述，其结构如图所示图1b，其中电池由具有等效热质量的单个热节点表示[数学处理错误]Mcp热量产生由[数学处理错误]Qgen描述，而与温度为[数学处理错误]Tamb的周围环境的热交换则通过对流热阻[数学处理错误]Rconv进行建模。尽管文献中存在更详细的热模型[30]，但通常情况下，如果不采用侵入式方法，无法测量电池内部温度。因此，采用单一的集总温度，假设[数学处理错误]Tcore=Tsurf. 考虑到测试电池的尺寸较小以及所考虑的脉冲持续时间较短（[数学处理错误]≤30s)，由于预计不会出现显著的内部温度梯度，因此该近似被认为是充分的。公式(9)-(13)总结了所采用的热ECM的数学公式。
[数学处理错误]Rconv=1hAext
[数学处理错误]Cth=Mcp
[数学处理错误]Qgent=Qrevt+Qirrt
[数学处理错误]Qirrt=R0SoC,T,SoL it2+R1SoC,T,SoL i1t2
[数学处理错误]Qrevt=it·T·EHC
[数学处理错误]EHC=∂VOCSoC∂T
在公式(9)中，[数学处理错误]h是传热系数，[数学处理错误]Aext是外部换热表面；它们的数值将在下一段中讨论。总产热率[数学处理错误]Qgen包括一个与熵效应相关的可逆项[数学处理错误]Qrev，以及一个不可逆项[数学处理错误]Qirr，与焦耳损耗有关。可逆项取决于电池电流[数学处理错误]it，电池温度[数学处理错误]T以开尔文为单位，以及熵热系数（EHC），其定义见公式(14)中开路电压的温度导数。因此，EHC被视为SoC的函数，而忽略其对SoL的依赖性。这一假设与之前的研究结果一致，即在典型运行条件下，可逆热量通常小于不可逆焦耳热，且其主要变化性与SoC和化学成分有关，而非老化[31,32].
所采用的等效电路模型（ECM）的电学和热学参数通过专门的实验测试确定，这些测试将在下一节中详细描述。2.3. 老化测试方案
锂离子电池的实验老化表征耗时且昂贵，尤其是当需要研究电流倍率、温度、放电深度（DoD）和荷电状态（SoC）窗口等多个变量时。由于老化源于多种应力因素的非线性相互作用，且无法可靠地进行先验外推，因此需要直接测试来进行模型校准。为此，本研究采用针对性的电池级实验，以有限的实验复杂度捕捉老化对电热模型参数的影响。四种商用NMC 18650电池（3.2 Ah标称容量，INR18650-33V，亿纬锂能（中国惠州）在不同工况下进行老化测试，每次仅改变一个应力因素，同时保持其他因素不变。完整的测试流程如图图2.
图2。实验老化流程示意图。在初始的寿命初期（BoL）表征之后，确定参考量和模型参数。随后，电池将经历一个迭代老化过程，该过程由固定的老化循环区块、中间容量表征和多步测试（MST）组成。在每个老化步骤中，测得的提取容量将用于更新SoC定义中采用的参考值。
所示。在实验老化过程中，每块电池都要接受四种不同的测试，示意图见图3。这些测试包括用于测量最大可提取容量的容量测试[数学处理错误]Qmi，一项旨在识别等效电路模型电气参数的多步测试（MST），一项用于识别热参数的热协议测试（TPT），以及一项由连续充放电循环组成、旨在逐步老化电池的老化测试。下文将详细描述每项测试，并说明在测试期间采用的具体操作条件。
图3。老化试验期间采用的实验测试程序（出于保密原因，所有显示的信号均采用归一化形式）。（a）容量测试用于[数学处理错误]Qm,i确定；（b) 用于电气ECM参数提取的多性向步进测试(MST)；(c) 热协议测试（TPT）显示了用于热参数识别的周期性稳定状态及随后的热弛豫阶段；(d) 老化循环曲线及相应的温度演变。
老化实验采用的整体实验矩阵总结在表1中。该表报告了应用于每个电池的表征程序和老化条件，以及完成的充放电循环总数。
表1。实验矩阵及应用于每个电池的老化条件摘要。
四电池实验矩阵的设计旨在针对不同老化应力源进行对比，而非对制造变异性进行统计表征。所选条件允许进行三组两两比较，其中一组主要应力源发生变化，而其余条件保持不变：1号和2号电池的放电曲线，2号和3号电池的老化温度，以及3号和4号电池的充电倍率。因此，观察到的电池间差异被解释为不同老化轨迹的影响，而非电池间固有离散性的估计。文中讨论的电池间离散度第4.3节因此，它们描述了这四种特定衰老轨迹中的范围，被称为衰老轨迹依赖性变异；它们并不代表统计分布。
ECM参数化
在选定的老化状态下识别每个电池的电-热ECM参数，以构建用于SoP评估的老化相关参数图。在MST的每个SoC点，[数学处理错误]VOC直接从对应静置间隔结束时测得的松弛端电压中获得。电气参数[数学处理错误]R0, [数学处理错误]R1，并且[数学处理错误]C1使用内置优化程序进行联合估计。将实验测得的电流作为模型输入，同时将模拟端电压与实测电压进行比较。校准间隔包括电流脉冲期间的电压响应以及随后的松弛阶段，使响应的瞬时和动态部分都能为参数估计做出贡献。该程序迭代地改变[数学处理错误]R0, [数学处理错误]R1，并且[数学处理错误]C1以最小化仿真与实测终端电压之间的轨迹差异。该过程在每个特征化的荷电状态、温度和老化状态下重复进行，并通过线性插值获取实验工作点之间的参数值。图4a展示了SoL随循环次数的变化，而图4b报告了欧姆电阻的相应变化[数学处理错误]R0在不同SoL水平下的SoC，通过线性插值获得。%%由于电池老化程度不同，SoL是针对每个样本单独定义的；因此，SoL以及基于更新后的最大可提取容量的相关SoC归一化%%在整个分析过程中都是针对特定电池的。在老化初期观察到更剧烈的容量下降，随后是更平缓的退化趋势，这与NMC锂离子电池典型的早期稳定阶段一致[%%]。因此，在3号和4号电池的初始循环阶段采用了更高密度的表征点。识别出的%%随老化而增加，同时保持其对SoC的依赖性，支持了在[数学处理错误]25 °C领域。其他电气参数的老化演变（[数学处理错误]Qmi are cell-specific throughout the analysis. A steeper capacity drop is observed in the early aging stage, followed by a smoother degradation trend, consistent with the typical early stabilization phase of NMC lithium-ion cells [38,39]. For this reason, a higher density of characterization points was adopted in the initial cycling phase for cells #3 and #4. The identified [数学处理错误]R0 increases with aging while preserving its dependence on SoC, supporting the adopted 3D parameter mapping in the [数学处理错误]SoC, T, SoL domain. The aging evolution of the other electrical parameters ([数学处理错误]VOC, [数学处理错误]R1，并且[数学处理错误]C1) 报道于附录A。热参数通过在第2.3节中描述的热协议测试确定。采用对流换热系数[数学处理错误]h=20 Wm2K来表示与气候箱的热交换，并用于评估[数学处理错误]Rconv。等效比热容[数学处理错误]cp=1200 JkgK用于集中热容。这些数值是从实验辨识中获得的代表性平均值，并且与文献数据一致[30,36,40,41].
Figure 4. (a) 所研究电池的寿命状态随循环次数的变化曲线；(b) 识别出的欧姆电阻[数学处理错误]R0作为每个电池在不同寿命水平下SoC的函数。SoC轴被限制在100–20%区间以获得更好的可视性。出于保密原因，所有数值均以归一化形式报告，参考值为[数学处理错误]R0ref1和[数学处理错误]R0ref2。2.4. 虚拟最大功率评估
一旦确定了与老化相关的电热等效电路模型参数，该模型便可用于进行虚拟测试，以确定在指定运行工况下的最大允许充放电功率。这使得无需额外的实验活动，即可推导出作为荷电状态（SoC）、温度和寿命状态（SoL）函数的功率（SoP）映射图。通过模拟持续时间为[数学处理错误]Δt的恒流脉冲，在固定的SoC、温度和SoL组合下评估最大功率。分析的SoC范围为20–95%，分辨率为5%，这与实际应用中为避免过放电和过充电而通常采用的运行窗口一致。温度从10 °C到50 °C变化，步长为10 °C。考虑的SoL水平为100%、90%、80%和70%，以便通过比较相同SoL的电池来分离老化效应。这些水平下的参数映射图的来源总结在表2中，并在下文进行描述。脉冲持续时间分别为1 s、5 s、10 s和30 s。
表2.虚拟测试中每个SoL级别所用参数图的来源。
在每个单元格确定的SoL范围内（图4a），参数图是通过相邻确定的水平之间在SoL进行线性插值获得的。对于最后确定的水平分别为83.5%、81.8%和79.9%的单元格#1、#2和#3，70%的图需要进行外推。未采用从每个单元格最后两个确定的水平进行线性外推，因为间距较近的水平会通过外推跨度与水平间距的比值放大它们参数图之间的差异。相反，70%的图是从汇总的衰老趋势中获得的。对于每个参数[数学处理错误]θ (VOC, R0, R1和[数学处理错误]C1）和每个[数学处理错误]SoC, T节点，相对于BoL值的相对变化，[数学处理错误]θ/θBoL − 1，与容量损失进行回归，[数学处理错误]1 − SoL，涵盖电池#1、#2和#3的所有老化阶段，具有共同的斜率[数学处理错误]β，且每个电池有一个偏移量。每个电池的70%映射图随后从其最后确定的阶段中获得，[数学处理错误]SoLL，作为[数学处理错误]θ70 = θL + β·θBoL·SoLL − 0.70，使得每个单元格在...时所达到的状态[数学处理错误]SoLL保留了，只有随后的演化遵循共同趋势。最后识别的水平与70%之间的图（包括细胞#1和#2的80%图）是通过线性插值获得的，而对于已表征至SoL = 56%的细胞#4，所有分析的水平均进行了插值（表2).
通过对细胞#4进行回测，估计了合并趋势的不确定性，该细胞是唯一识别水平夹住SoL = 70%（84%和56%）的细胞。其70%图是使用来自84%水平的合并趋势计算的，并与在识别的84%和56%水平之间插值的图进行了比较。中值差异在[数学处理错误]R0全图节点的平均值为−7.1%，而使用汇总趋势获得的70%平均SoP在放电时高出3.4–4.2个百分点，在充电时高出1.7–1.9个百分点，具体取决于脉冲持续时间；因此在这种情况下，该趋势是非保守的。此外，当使用不包含它们的共同斜率拟合，从上一层预测第1、2和3号电池的最后一个识别层级时，中值绝对误差分别为[数学处理错误]R01.5%、1.6%和5.0%。鉴于这种不确定性，SoL = 70%的结果仅用于描述平均老化效应（第4.2节），而相同SoL下电池之间的比较仅限于90%和80%（第4.3节, 第4.4节和第4.5节).
对于施加的恒定电流[数学处理错误]I，瞬时电功率计算如下：
[数学处理错误]Pt=Vt⋅I
其中[数学处理错误]Vt是模拟的端电压。由于[数学处理错误]Vt在脉冲期间会因暂态和SoC变化而演变，因此功率在[0,[数学处理错误]Δt]区间内不是恒定的。在本研究中，功率评估如下：
[数学处理错误]Pend=VΔt⋅I
该量[数学处理错误]Pend，与满足电压和热约束的最大允许电流相关联，分别通过公式(2)和公式(3)用于构建放电和充电条件下的SoP图。因此，报告的数值代表了在指定持续时间内最大允许恒定电流所对应的功率。
通过以下约束条件在整个脉冲期间强制执行可接受性：电池电压限制[数学处理错误]Vmax=4.2V 和[数学处理错误]Vmin=2.5V，以及最大电池温度[数学处理错误]Tmax=60 °C。对于每个工作点，限制电流由最严格的电气或热约束决定。SoP预测由与老化相关的电气参数图确定[数学处理错误]VOC, [数学处理错误]R0, [数学处理错误]R1，并且[数学处理错误]C1，更新后的可提取容量[数学处理错误]Qmi，以及集总热模型的参数。在每个工作点，[数学处理错误]VOC定义了相对于电压限制的初始裕度，[数学处理错误]R0控制瞬时电压变化，并且[数学处理错误]R1和[数学处理错误]C1决定了在规定脉冲持续时间内的后续瞬态响应。容量[数学处理错误]Qmi决定了脉冲期间的荷电状态变化，而热参数则控制温度升高和散热。它们的综合响应决定了哪个电压或温度约束会生效，从而确定最大允许电流和预测的SoP。
电热模型在OpenModelica (v1.23.0)中实现，而Python (3.12.4)监督程序通过二分算法确定最大允许电流，如图5所示。电流会迭代更新，直到达到0.5 A的容差约束；随后根据模拟的端电压计算相应的最大功率。最终得到的电流和功率值被整理成SoP图，作为SoC、温度、SoL和脉冲持续时间的函数，构成了第四节.
图5。虚拟最大功率评估的工作流程。OpenModelica电热模型与基于Python的搜索程序耦合，以确定在规定的SoC、温度和SoL条件下的最大允许电流及相应功率。3. 实验设置
用于执行本研究中所述测试的实验装置由以下装备组成：表3，其中报告了主要规格。研究的电池为标称容量为3.2 Ah的圆柱形石墨/锂镍锰钴（NMC）氧化物电池。每个电池都被放置在气候箱内，以确保受控的环境温度条件，并连接到可编程电池循环仪上，以执行受控的充放电程序。在实验过程中，电池的端电压、电流和表面温度被持续监测和记录。电池温度使用放置在侧面中心区域的热电偶进行测量，以确保所有测试中热测量的一致性和可重复性。气候箱内测试电池的照片，包括电源和传感器连接，显示在图6.
图6。实验装置：连接示意图（左）和照片（右) 的 (）电池充放电测试仪和（）带有待测电池的恒温恒湿箱。b) the climatic chamber with the cells under test.
表3。待测设备与实验室装备的特性。4. 结果与讨论中对比老化分析的基础。
4.1. 最大电流搜索程序的验证
为了评估所提出的最大电流搜索程序的可靠性，在一块单独但相同的电池上进行了针对性的实验验证，该电池的实测SoL为88%，且未参与用于构建地图的老化实验。在整个工作范围内（SoC = 20–95%，T = 10–50 °C）选择了九个代表性的工作点，涵盖了放电和充电条件，以及边界和中间区域。对于每个点，实验中施加的电流对应于模型在SoL = 88%时估计的30秒脉冲的最大允许值，且在充电过程中不超过4.2 V的最大电压阈值，在放电过程中不超过2.5 V的最小电压。一个代表性工作点的实测电压和温度响应示例显示在图7（放电脉冲在SoC = 40%且T = 50 °C时），而相应的定量结果总结在表4中。所有测试工作点的完整验证响应报告在附录B (图A4中）。除了绝对持续时间误差外，表4报告了一个电流等效误差，[数学处理错误]eI = 100·Imodtobs − Itest/Itest，其中[数学处理错误]Itest测试中施加的电流是，[数学处理错误]tobs是约束激活的实验时间，以及[数学处理错误]Imodtobs是模型在SoL = 88%时，针对持续时间为脉冲计算出的最大允许电流[数学处理错误]tobs在相同工作点下。[数学处理错误]eI的数值为正，表示模型允许的电流高于在[数学处理错误]tobs处达到约束的电流，即非保守估计。
图7。在30秒脉冲范围内，代表性验证工作点的实验电压、电流和温度响应。
表4。30秒脉冲验证结果摘要，包括估计的可允许电流、绝对持续时间误差和电流等效误差。
绝对时长误差[数学处理错误]e30s范围从0.2秒到8.5秒，平均值为4.5秒；正如预期的简化一阶电热ECM那样，较大的值出现在低温和SoC边界附近。以电流表示时，偏差较小：中位数为[数学处理错误]eI2.8%，九个点中有七个在±4%以内。两个最大的偏差分别是：点f处的−11.4%，该点模型电流受热约束限制且估计值保守；以及点h处的+8.3%（SoC = 90%且T= 10 °C），这是最大的非保守偏差。由于低温和边界SoC条件是BMS限制最关键的时刻，因此应在这些条件下使用带有安全余量的映射表；对于测试点，10%的电流余量即可覆盖所有非保守偏差。
搜索程序的实验验证仅限于SoL = 88%时的30秒脉冲，这是专用测试活动的条件。用于生成图表的与老化相关的模型，还与老化测试EN 16796放电循环期间在四个电池上测得的电压和温度进行了比较（第2.3节），包含加速、带能量回收的制动、起升和载荷处理的变电流剖面，涵盖了从SoL = 100%到56%的每个特征老化阶段。在所有阶段（直至SoL = 79.9%）的平均相对电压误差介于0.44%和2.62%之间，而4号电池在SoL = 56%时达到6.67%，同时最大温度误差介于0.51 °C和5.19 °C之间，4号电池在SoL = 56%时为6.50 °C（附录 C, 表A1).4.2. 单电池SoP随老化的退化
本节通过文中描述的虚拟最大功率评估，分析了单体电池放电功率能力的演变。第2.4节. 图8报告显示，对于1号电池，在30秒步进（脉冲结束准则）下评估的最大允许放电能力，以SoC和初始温度为函数，在四个老化水平（SoL = 100%、90%、80%和70%）下进行映射。这些映射图突显了对操作条件的预期依赖性：在SoC较高且温度中等至较高时，放电能力通常更高，而在SoC较低且温度较低时，放电能力会降低，此时电池在施加的脉冲下会更早达到约束条件。随着老化程度的加深（SoL降低），整个映射图中的总放电能力都会下降，而其表面的形状在不同SoL水平上大致保持相似，这表明老化主要缩减了可达到的性能，而不是改变了其对（[数学处理错误]SoC,T），而最大的降幅出现在BoL时已处于“临界”状态的区域（低温和中低SoC），这些区域的安全裕度较小，电压约束更突然地达到。
图8。1号电池的最大允许放电功率（30秒电流阶跃期间的脉冲结束值），分别对应SoL = 100%、90%、80%和70%时的SoC（%）和初始温度（°C）的映射图。颜色刻度：归一化最大放电功率（BoL最大值的百分比）；出于保密原因进行了归一化处理。对于该电池，SoL = 70%的映射图是根据汇总的老化趋势外推得出的，而SoL = 80%的映射图则是通过最后确定的水平（83.5%）与70%映射图进行插值得到的。
为了对观察到的老化效应提供紧凑的定量解释，图8中整个（[数学处理错误]SoC,T）区域（20–95% SoC，10–50 °C）的平均SoP变化在Δt = 30 s、以及放电和充电条件下进行了总结。对于每个电池表5（与[数学处理错误]k (with [数学处理错误]k=1, 2, 3, 4) 和每个 SoL 等级（SoL = 100%、90%、80% 和 70%），SoP 指标被定义为一个二维图[数学处理错误]SoPk,SoLSoC,T该图在（[数学处理错误]SoC,T）网格上取平均值，以获得一个紧凑的标量值，如公式 (17) 所示。两个连续 SoL 等级之间（例如从[数学处理错误]SoL1=100%到[数学处理错误]SoL2=90%）的 SoP 变化量，则按公式 (18) 为每个单元格计算，并报告在列中[数学处理错误]ΔSoPk的表5根据公式(19)最终得出四个电池的平均变化，对应于报告中的数值[数学处理错误]ΔSoP¯s列。
[数学处理错误]SoP¯k,SoL=meanSoC,TSoPk,SoLSoC,T
[数学处理错误]ΔSoPkSoL1→SoL2=SoP¯k,SoL1−SoP¯k,SoL2
[数学处理错误]ΔSoP¯s=meankΔSoPk
表5的回测中。在整个（[数学处理错误]SoC,T）工作区域（20–95% SoC，10–50 °C）内，连续SoL等级之间域平均SoP的变化，针对每个电池单元和Δt = 30 s进行报告。对于#1–#3号电池单元，涉及SoL = 70%的数值基于外推图谱。
表5表明SoL和SoP的衰减并非同步。SoL从100%降至90%时，放电SoP的平均变化很小，而随后的区间（90%至80%和80%至70%）则产生更大的损失。在100%至70%的完整范围内，放电SoP的平均降幅约为30%，与相应的容量衰减相当；充电SoP的平均降幅约为50%，远高于容量衰减。这些数值依赖于#1–#3号电池单元的外推70%图谱：在第2.4节，汇总趋势在放电时将70%的SoP高估了3.4–4.2个百分点，在充电时高估了1.7–1.9个百分点，因此降至70%的程度可能被低估了类似幅度。因此，电池在已表现出可接受功率大幅下降（尤其是在充电时）的情况下，仍可能保持相对较高的SoL。100%至90%区间内的小幅局部上升反映了早期稳定，并未改变整体趋势。充电时更大的敏感性与充电过程的电压限制特性一致，老化引起的电阻增加会导致更早达到电压上限，从而降低可接受的电流和功率[42,43].
在10,240个模拟工作点（四种电池、四种SoL水平、16个SoC值、五种温度、四种脉冲持续时间、充电和放电）上，也分析了决定允许电流的约束条件。当搜索在热约束上停止，或者剩余裕量小于[数学处理错误]Tmax 下一个电流步预期产生的额外温升时，该点被归类为受热限制。热限制在185个点（1.8%）上处于激活状态，全部为放电工况且Δt= 30秒，占这些工况的14.5%。这些点集中在最高初始温度下：50°C时30秒放电点的69.5%和40°C时2.7%受热限制，而10–30°C时则没有；该比例随老化而降低，从SoL = 100%时30秒放电点的16.6%降至SoL = 80%时的13.8%。在所有其他条件下，包括所有充电脉冲和所有10秒以内的脉冲，电压限制处于激活状态。因此，热模型仅对高初始温度下的长放电脉冲设定限制，而在其他区域，它决定了脉冲期间的电池温度，并由此决定与温度相关的电参数。4.3. 相同SoL下的SoP比较
通过比较四节电池在相同老化水平下的全工作范围（SoC = 20–95%，初始温度 = 10–50 °C）内的表现，评估循环历史对放电功率能力的影响。图9通过离散度总结了与老化轨迹相关的变异性[数学处理错误]ΔSoPspread SoC,T= SoPmax − SoPmin，该离散度是针对不同脉冲持续时间，在细胞#1至#4（SoL = 80%）上计算得出，并以百分点表示。在此语境下，“与老化轨迹相关的变异性”是指在实验期间施加的四条特定老化轨迹上SoP值的范围：它并非统计分布，也不指在相同操作条件下受试的名义上相同的细胞之间的固有变异性。
图9。在SoL = 80%时，以ΔSoPc表示的1至4号电池放电能力随老化轨迹变化的差异，报告了Δt = 1、5、10、30秒时作为SoC（20–95%）和初始温度（10–50 °C）的函数。
结果表明，在较宽的中SoC区域（约SoC ≈ 55–80%）和适中温度下，差异较小：在所有温度下的平均值，该SoC范围内的平均差异为9.2–12.7个百分点（取决于脉冲持续时间），而SoC窗口的其他部分则为11.8–15.4个百分点。这表明，在此运行窗口内，一旦在相同的SoL下对电池进行比较，特定的循环历史对估计的放电能力影响较小。相反，较大的值[数学处理错误]ΔSoPspread这些现象出现在SoC窗口的边界附近，此时可用电压裕度降低，端电压对内阻的敏感性变得更加显著。平均离散度随脉冲持续时间略有下降（在Δt = 1 s和30 s之间从14.4个百分点降至10.9个百分点），而最大的局部离散度出现在Δt = 30 s时（26.3个百分点），这表明累积的瞬态效应会局部放大与老化轨迹相关的允许电流和功率差异。
表6提供了在SoL = 90%和80%时，与老化轨迹相关的变异性的定量总结。对于给定的SoL和脉冲持续时间，在（[数学处理错误]SoC,T）网格上的点对点离散度定义为经历不同循环历史的四个单元格中最大和最小SoP值之间的差值，如公式(20)所示，其中[数学处理错误]k表示单元格索引。表中报告的平均离散度是通过对整个操作域内的该量进行平均计算得出的，如公式(21)所示，而最大离散度则根据公式(22)捕捉了（[数学处理错误]SoC,T）空间内最关键的局部偏差。未包含SoL = 70%的情况，因为该水平下#1–#3单元格的图表是基于共同的外推趋势（第2.4节）获得的，因此它们的离散度将取决于这一假设。
[数学处理错误]ΔSoPspreadSoC,T=maxk=1,…,4SoPkSoC,T−mink=1,…,4 SoPkSoC,T
[数学处理错误]ΔSoP¯c=meanSoC,TΔSoPspreadSoC,T
[数学处理错误]ΔSoPcmax=maxSoC,TΔSoPspreadSoC,T
表6。固定SoL（90%和80%）下SoP随老化轨迹变化的变异性。
进行了定量讨论。在相同的SoL（90%和80%）下，四个电池在大部分中等SoC、中等温度区域的差异较小，而在SoC边界附近差异变得更加显著，局部最大差异在20到51个百分点之间。因此，SoL是BMS功率限制定义的一个有用的初步依据，但在低裕度区域，仅靠它是不够的，因为特定的老化轨迹会显著影响允许功率。由于这些差值描述了四种特定的老化轨迹，它们反映了所研究条件下轨迹效应的大小，并不代表统计边界。4.4. 脉冲持续时间对SoP的影响
为了研究脉冲时间跨度在虚拟SoP评估中的作用，在初始电池温度（10–50 °C）和SoC（20–95%）的全网格范围内，以固定的SoL = 80%计算了四种脉冲持续时间（Δt = {1, 5, 10, 30} s）下的最大放电功率。相对于1秒基准的变化情况在图10中以[数学处理错误]ΔSoPt=SoPΔt−SoP1 s的形式给出，基于3号电池进行评估，以百分点（p.p.）表示。由于每个SoP图都针对相同脉冲持续时间的BoL功率进行了归一化处理，[数学处理错误]ΔSoPt比较的是相对功率能力：正值意味着在给定的SoL下，脉冲持续时间Δ的功率t相对于BoL（电池寿命初期），1秒功率的下降幅度较小，且允许功率并未随脉冲持续时间增加。例如，对于充电中的1号电池，在SoL（电池寿命末期）= 100%时，30秒与1秒最大功率的区域平均比值为0.89，而在SoL = 80%时为0.97：较长脉冲的绝对功率较低，但其随老化程度的相对降幅较小，因此[数学处理错误]ΔSoPt是正向的。1秒限制主要受瞬时响应控制，[数学处理错误]R0，而对于较长脉冲，RC瞬态和脉冲期间的SoC变化也会产生影响；因此，老化对允许功率的影响在两种持续时间下有所不同，其正负号取决于工作点，如图10所示。为了提高可读性，图10仅报告了放电侧的映射图，而相应的充电侧灵敏度则通过表7.
图10。在SoL = 80%时，相对于1秒情况的放电SoP差异，其中ΔSoPt以百分点表示，对应SoC = 20–95%和T = 10–50 °C，Δt = 5、10和30秒（电池#3）。
表7。SoL = 80%时SoP对脉冲持续时间的敏感性。
地图显示，在几乎整个运行空间内，1秒与5秒之间的差异可以忽略不计，这表明短脉冲时限所产生的可接受功率估计值几乎等同。将脉冲延长至10秒会引入略大的偏差。当Δt = 30秒时，表现出明显不同的行为，其局部变化相对于1秒基准在约−8到+14个百分点之间。然而，在中高荷电状态（SoC）和中等温度下，对脉冲持续时间的敏感性仍然有限。为了量化这一效应，在固定荷电状态（SoL）= 80%的情况下绘制SoP地图，如...图10，与1秒参考案例进行比较：对于每个网格单元[数学处理错误]k和脉冲持续时间[数学处理错误]Δt，其在[数学处理错误]SoC,T网格上的逐点变化由公式(23)定义。报告中的区域平均指标表7然后按照公式(24)获得，而最大绝对偏差则按照公式(25)定义。
[数学处理错误]ΔSoPt,kSoC,T=SoPkΔt;SoC,T−SoPk1 s;SoC,T
[数学处理错误]ΔSoP¯t,k=meanSoC,TΔSoPt,kSoC,T
[数学处理错误]ΔSoPt,kmax=maxSoC,TΔSoPt,kSoC,T
表7证实了脉冲持续时间对SoP的平均影响有限，但会产生显著的局部偏差（在放电过程中，当Δt = 30 s时，平均值最高达7.1个百分点，最大值最高达43.0个百分点）。在较长脉冲的放电过程中，这些偏差更为明显，而充电过程在不同脉冲持续时间下表现出更一致的敏感性。因此，在构建用于BMS应用的SoP图时，应明确指定脉冲持续时间。4.5. 通过AVSR进行定量比较
虽然第4.2节, 第4.3节和第4.4节分别分析了老化程度、依赖老化轨迹的变异性以及脉冲持续时间对SoP图的影响，但为了评估它们的相对影响，需要进行紧凑的定量比较。为此，表8引入了“老化-变异敏感性比率（AVSR）”指标，定义为：
[数学处理错误]AVSR= ΔSoPs¯ΔSoPc¯
其中[数学处理错误]ΔSoPs¯是与给定SoL区间（例如100-80%）相关的平均SoP降低值，并且[数学处理错误]ΔSoPc¯是对应SoL水平（例如SoL = 80%）下各电池间功率能力的平均离散度。换言之，分子代表两个老化状态之间功率能力的平均退化程度，而分母则量化了通过不同循环历史达到相同SoL的电池之间，其允许功率的差异程度。因此，AVSR提供了一个无量纲的度量，用于判断绝对老化水平还是依赖于老化轨迹的变异性在决定允许功率能力方面起主导作用。AVSR仅针对100–80%区间进行评估，因为未考虑SoL = 70%时的离散度（第4.3节).
表8。充放电模式下的老化-变异性敏感度比（AVSR）。
结果表明：
这些研究结果支持将SoL跟踪作为所研究范围（100–80% SoL）内老化感知SoP映射的一阶基础，在该范围内，功率能力主要受整体老化水平支配。老化轨迹仍会影响可容许的功率包络，特别是在放电和接近运行边界时，且在SoL < 80%时其作用无法用现有数据量化，因为SoL = 70%时的映射图是基于四个电池中的三个进行外推得出的。4.6. 所提方法的局限性
本研究呈现的结果应结合所采用实验和建模框架的若干局限性进行解读。首先，目前的分析是在电芯层面进行的，因此未明确考虑电池包层面的现象，如电芯间不平衡、热分布不均、互连电阻或其他可能进一步影响实际电池系统允许功率的约束条件；电芯层面的映射是否可扩展至电池包，或是否需要电池包层面的修正因子，只能通过电池包层面的测试来确定。此外，本研究依赖于有限数量的电芯，且未对电芯间的统计变异性进行系统表征。这些局限性主要涉及数值结果的统计代表性和系统层面的可迁移性，而非所提工作流程的结构。由老化相关参数识别、基于虚拟约束的测试和SoP图生成组成的流程可应用于其他电池和系统，前提是其模型参数和运行约束得到适当识别；然而，本文报告的特定SoP缩减和老化轨迹相关的分布不应推广到所研究的电池类型和测试条件之外。将该方法扩展到更大规模的电池群体将能够为SoP图定义置信区间，而模块或电池包层级的集成则可显式评估电学和热学异质性的综合影响。最后，提高电热模型的结构保真度可能进一步增强关键运行区域内老化感知SoP估计的鲁棒性。
验证的范围也有限。最大电流搜索在SoL = 88%时，针对单个电池的30秒脉冲进行了实验验证（第4.1节），同时该模型在所有识别的衰减水平下，均通过了EN 16796动态剖面的验证（附录 C）；1–10秒脉冲的允许电流未得到直接验证。此外，1–3号电池在SoL = 70%时，以及1号和2号电池在SoL = 80%时的结果，取决于第2.4节其不确定性通过单次回测进行估算，应通过在较低SoL下表征电池来进一步确认。SoP映射的置信区间无法仅凭四个电池得出：此处提供的置信信息仅限于验证误差以及外推水平的回测。
SoP映射图是基于固定SoC和初始温度的恒流脉冲计算得出的。在可变负载和温度变化的情况下，允许的功率还取决于前一个负载留下的状态（例如RC极化），而这些状态并非映射图的变量；附录 C支持了可变电流剖面下的模型，但映射图本身并未在随机负载和温度序列下进行验证。此外，映射图以SoL为索引，而第4.3节表明具有相同SoL但老化轨迹不同的电池可能具有不同的功率限制，尤其是在低裕度区域。因此，在随机运行条件下验证图谱，并在更新中包含老化轨迹信息，将作为未来的研究工作。
对于其他化学体系（包括钠离子电池），工作流程的迁移需要重新识别该体系电池的开路电压、阻抗和容量图谱以及老化趋势，采用这些电池规定的电压和温度限制，并验证一阶等效电路模型（ECM）能否以足够的精度重现其动态响应，这是进行虚拟测试的前提条件。5. 结论
本研究开发并实验评估了一种老化感知虚拟测试框架，该框架将依赖于SoL的电热ECM参数转化为适用于BMS应用的充放电电流及功率限制映射图。其科学贡献不在于单独的一阶ECM或参数校准过程，而在于将它们系统性地整合，并针对SoC、温度、老化水平和脉冲持续时间执行基于约束的自动化虚拟测试。该框架旨在离线生成和更新BMS功率限制查找表，从而减少直接表征每个老化阶段所需的实验工作量。
最大电流搜索程序在独立电池上通过30秒脉冲在九个工作点进行了验证。目标脉冲持续时间与实验观察到的约束激活时间之间的绝对误差范围为0.2秒至8.5秒，平均值为4.5秒。最大偏差出现在低温和SoC边界附近，在这些位置，使用降阶电热模型更难重现电压响应。以电流表示，中值偏差为2。8%，九个点中有七个在±4%以内，最大非保守偏差为8.3%。该模型还与EN 16796放电循环在所有识别的衰减水平上进行了比较，平均电压误差在SoL = 79.9%时低于2.7%，在SoL = 56%时为6.7%。
结果表明，基于容量的老化与功率能力退化并非同步演变。在SoL从100%到70%的区间内，30秒脉冲的区域平均SoP降幅在放电时约为30%，充电时约为50%，且在100%至90% SoL的放电区间内几乎没有平均变化；70%时的数值依赖于对四个电池中三个的推导映射，其不确定性通过回测估计为SoP的几个百分点。在相同的SoL（90%和80%）下，电池间的差异在中等SoC和中等温度区域较小，而在运行边界附近较大。脉冲持续时间也会影响最终的限制：短脉冲映射在大部分区域内高度一致，而30秒脉冲则显示出更明显的局部约束。
从电池管理系统（BMS）的角度来看，这些研究结果表明，SoL（荷电状态）为更新功率限制提供了有用的首阶基础，但在低裕度运行条件下，仅靠它本身是不够的。在这些区域，可能需要额外的保守裕度或考虑老化轨迹的SoP（功率状态）更新。所报告的定量结果仅适用于所研究的四种NMC 18650电池以及所采用的电池级测试条件。因此，未来的工作将涉及更大规模的电池群体、更低SoL水平下的特性表征、在随机负载和温度曲线下的验证、应用于钠离子电池等其他化学体系、SoP映射的置信区间、模块和电池包级的电热异质性、更高保真度的电热模型，以及将由此产生的考虑老化的功率限制映射集成到实时BMS运行中
电话：153-1370-2523
美国邱健蓄电池集团总部